קיץ 2026 מועד ב – שאלה 1סדרות 472 · שיעור 25

קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1

קיץ 2026 מועד ב – שאלה 1

פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות

1נוסח השאלה

2סעיף א – המנה q

3סעיף ב – מספר הבקבוקים בשבוע הראשון

4סעיף ג – ההפרש d

5סעיף ד – האם הכסף יספיק?

📄 נוסח השאלה

תלמידי כיתה י"ב1 ותלמידי כיתה י"ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למחזור תמורת כסף.

📄 נוסח השאלה · המשך

תלמידי כיתה י"ב1 אספו בקבוקים במשך 5 שבועות. מספר הבקבוקים שהם אספו בכל שבוע גדול פי q ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע שלפניו. מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הרביעי גדול פי 3.375 ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע הראשון.

א. מצאו את הערך של q.

מספר הבקבוקים סך הכול שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון ובשבוע האחרון היה 2,425.

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו את מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון.

תלמידי כיתה י"ב2 אספו בקבוקים במשך 18 שבועות. בכל שבוע הם אספו d בקבוקים יותר מבשבוע שלפניו. בשבוע השני תלמידי כיתה י"ב2 אספו 230 בקבוקים. תלמידי כיתה י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים סך הכול.

ג. מצאו את הערך של d.

📄 נוסח השאלה · המשך

בעבור כל בקבוק שהעבירו התלמידים למחזור, הם קיבלו 0.3 שקלים. העלות של מסיבת הסיום היא 3,400 שקלים.

ד. האם הסכום הכולל שקיבלו תלמידי שתי הכיתות ממחזור כל הבקבוקים יספיק למימון עלות המסיבה? נמקו את תשובתכם.

סעיף א – המנה q

בכל שבוע מספר הבקבוקים גדל פי q מהשבוע הקודם, ולכן המספרים של כיתה י"ב1 הם סדרה הנדסית עם מנה q. נסמן ב־a₁ את מספר הבקבוקים בשבוע הראשון.

מבטאים את השבוע הרביעי בעזרת הנוסחה (n = 4):

a₄ = a₁ · q^{4 − 1} = a₁ · q³

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

נתון: בשבוע הרביעי אספו פי 3.375 מבשבוע הראשון, כלומר a₄ = 3.375 · a₁. מציבים:

a₁ · q³ = 3.375 · a₁

מחלקים את שני האגפים ב־a₁ (מותר, כי a₁ ≠ 0):

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף א – המנה q · המשך

מחלקים את שני האגפים ב־a₁ (מותר, כי a₁ ≠ 0):

q³ = 3.375

q = 3.375¹³ = 1.5

📐 שורש מסדר n

בדיקה: 1.5 · 1.5 = 2.25 2.25 · 1.5 = 3.375 ✓

✅ פתרון סופי: q = 1.5

📐 שורש מסדר n

qⁿ = k ⟹ q = k¹ⁿ

סעיף ב – מספר הבקבוקים בשבוע הראשון

השבוע האחרון של י"ב1 הוא השבוע החמישי. נתון: a₁ + a₅ = 2,425.

a₅ = a₁ · q^{5 − 1} = a₁ · q⁴

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

מחשבים את q⁴ עם q = 1.5:

1.5⁴ = 1.5² · 1.5² = 2.25 · 2.25 = 5.0625

a₅ = 5.0625a₁

מציבים במשוואה של הסכום:

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף ב – מספר הבקבוקים בשבוע הראשון · המשך

מציבים במשוואה של הסכום:

a₁ + 5.0625a₁ = 2,425

6.0625a₁ = 2,425

a₁ = 2,4256.0625 = 400

בדיקה: a₅ = 400 · 5.0625 = 2,025 400 + 2,025 = 2,425 ✓

✅ פתרון סופי: a₁ = 400 בקבוקים

סעיף ג – ההפרש d

בכל שבוע י"ב2 אספו d בקבוקים יותר מהשבוע הקודם, ולכן זו סדרה חשבונית עם הפרש d ו־18 איברים. כדי לא להתבלבל עם י"ב1, נסמן את האיבר הראשון שלה ב־b₁.

השבוע השני (n = 2):

b₂ = b₁ + (2 − 1)d = b₁ + d

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

b₁ + d = 230

b₁ = 230 − d

סך הכול ב־18 שבועות (n = 18):

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d

סעיף ג – ההפרש d · המשך

סך הכול ב־18 שבועות (n = 18):

S₁₈ = 182 · (2b₁ + (18 − 1)d)

📐 סכום סדרה חשבונית

9 · (2b₁ + 17d) = 6,300

מחלקים את שני האגפים ב־9:

2b₁ + 17d = 6,3009 = 700

מציבים b₁ = 230 − d:

📐 סכום סדרה חשבונית

S_n = n2 · (2a₁ + (n − 1)d)

סעיף ג – ההפרש d · המשך

מציבים b₁ = 230 − d:

2(230 − d) + 17d = 700

460 − 2d + 17d = 700

460 + 15d = 700

15d = 700 − 460 = 240

d = 24015 = 16

סעיף ג – ההפרש d · המשך

d = 24015 = 16

b₁ = 230 − 16 = 214

בדיקה: S₁₈ = 9 · (2 · 214 + 17 · 16) = 9 · (428 + 272) = 9 · 700 = 6,300 ✓

✅ פתרון סופי: d = 16

סעיף ד – האם הכסף יספיק?

קודם מחשבים כמה בקבוקים אספה י"ב1 בכל 5 השבועות – סכום של סדרה הנדסית:

S₅ = 400 · (1.5⁵ − 1)1.5 − 1

📐 סכום סדרה הנדסית

1.5⁵ = 1.5⁴ · 1.5 = 5.0625 · 1.5 = 7.59375

S₅ = 400 · (7.59375 − 1)0.5 = 400 · 6.593750.5 = 2,637.50.5 = 5,275

בדיקה: לפי השבועות: 400 , 600 , 900 , 1,350 , 2,025 ← 400 + 600 + 900 + 1,350 + 2,025 = 5,275 ✓

י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים (נתון). סך הבקבוקים של שתי הכיתות:

📐 סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

סעיף ד – האם הכסף יספיק? · המשך

י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים (נתון). סך הבקבוקים של שתי הכיתות:

5,275 + 6,300 = 11,575

על כל בקבוק מקבלים 0.3 שקלים:

11,575 · 0.3 = 3,472.5 שקלים

משווים לעלות המסיבה:

3,472.5 > 3,400 (נשארים 3,472.5 − 3,400 = 72.5 שקלים)

סעיף ד – האם הכסף יספיק? · המשך

3,472.5 > 3,400 (נשארים 3,472.5 − 3,400 = 72.5 שקלים)

✅ פתרון סופי: כן – הסכום הוא 3,472.5 שקלים, יותר מ־3,400 שקלים.

📌 סיכום התשובות

סעיף א

q = 1.5

סעיף ב

400 בקבוקים

סעיף ג

d = 16

סעיף ד

כן – 3,472.5 > 3,400 שקלים

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא